金融工程相关概念白话解释——Radon Nikodym derivative

金融工程相关概念白话解释——Radon Nikodym derivative

这篇文章是按照宋老师的要求,用白话解释Radon_Nikodym_derivative

  • 第一卷书上给出的拉东-尼科迪姆导数的定义是这样的:$$Z(\omega) = \frac{\tilde{P}(\omega)}{P(\omega)}$$
  • 这个公式描述了风险中立概率测度和真实概率测度的比值。这是不符合我们对导数的认识的,因为我们对导数的认识是这个样子的:$$Z(\omega) = \frac{\Delta \tilde{P}(\omega)}{\Delta P(\omega)}$$或者是这个样子的:$$Z(\omega) = \frac{d \tilde{P}(\omega)}{d P(\omega)}$$
  • 那么首先第一个需要理解的就是书上的这个式子和我们认识中的导数形式的关系。事实上第三个式子就是在连续情况下的拉东-尼科迪姆导数的定义。而且我们也知道,如果概率测度$P(\cdot)$和$\tilde{P}(\cdot)$都是连续可微的函数,那么下式是成立的(也就是洛必达法则):$$\lim_{\omega\rightarrow0}\frac{\tilde{P}(\omega)}{P(\omega)} = \lim_{\omega\rightarrow0}\frac{\frac{d\tilde{P}(\omega)}{d \omega}}{\frac{dP(\omega)}{d \omega}} = \lim_{\omega\rightarrow0}\frac{d\tilde{P}(\omega)}{dP(\omega)}$$
  • 也就是说,第一个式子实际上就是第三个式子在离散条件下的形式,也就是无限概率空间和有限概率空间的关系。

  • 第二个需要理解的是,为什么要定义这个东西?为了理解这个问题,我们首先需要理解风险中性概率测度的存在意义。通过前面几节的学习,我们知道在风险中性测度下,股票价格的折现是一个鞅。也就是说有着一些很好的性质,这就使得我们可以简洁地表述那些方程组的求解结果。

  • 一个例子就是我们常常听说的 Black-Scholes 期权定价公式,这个公式的就是在风险中性测度下求出的封闭解。事实上早在1965年萨缪尔森就已经推导出来一个非常相似的模型,但是他的模型中的资产以收益率$\mu$增长并以另一个利率$\mu^{\star}$折现。由于这两个参数都是未知的,因此萨缪尔森的模型并不实用。使用风险中性定价仅仅是一种旨在取得正确解答的人工方法,它并不意味着投资者都是风险中性的。
  • 第三个需要理解的是,风险中性这个词的含义。在英文中,中性一次也代表这“无关”的意思。因此风险中性的实际就是“无关风险的意思”。那么什么是“无关风险”呢?如果一个资产以无风险利率增长,那么如果我们使用该无风险利率作为折现率对其进行定价,这样得到的定价结果将会既符合无套利原则,又产生任何风险。因此在风险中性的世界中,所有证券的期望收益率必定为无风险利率$r$,背后的原因就是风险中性投资者不需要用风险溢价来吸引他们承担风险。简单来说,就是“以无风险利率增长,并以无风险利率折现”
  • 最后一个需要理解的点就是,我们定价使用风险中性概率测度,然后实际世界的概率测度是真实概率测度,连接两个世界的桥梁就是拉东-尼科迪姆导数。这个拉东-尼科迪姆导数的作用就是在两个世界之间建立起一对一的映射关系。那么需要理解的地方就是,在风险中性世界计算得到的价格对于我们生活的真实世界是否适用?也就是说两个世界之间是否存在一个一一映射的关系。设想,如果这种映射不是一种一一映射,也就是说一个风险中性世界的资产价格使用拉东-尼科迪姆导数映射到真实世界之后有两个可能价格。那么这个时候在风险中性世界的定价将在真实世界中不适用,因为我们无法确定映射过来个价格那个才是正确的价格。
  • 不过不用担心,风险中性世界与我们真实世界之间的映射是一个一一映射。因为在金融建模的时候,我们需要建立一个样本空间,这个样本空间是未来所有可能结果的一个集合,不论是在风险中性世界中还是在真实世界中,这个样本集合都是一个集合。唯一不同的是样本空间里的各个结果在两个世界中发生的概率不同。另外资产价格变量也只有一个,它是随机变量(即市场未来状态的函数),只不过有时候我们使用风险中性概率测度,有时候我们采用真实概率测度,然而关于哪些可能,哪些不可能的看法我们并没有改变(不可能的未来状态在两个测度下都是不可能,可能的状态在两个测度下都是可能的,只不过概率不同。)因此两个世界之间是可以建立一一映射的。详细的证明过程在这套书的第二卷。
  • 综上所诉,资产的定价使用哪一个测度都是可以的。风险中性测度实际上也只是一种特殊的真实概率测度。为了简洁地建立定价模型,我们选择了真实测度中最特殊的风险中性测度。然后当我们需要在真实概率测度下对资产进行定价的时候,只需要使用拉东-尼科迪姆导数将风险中性测度下得到的资产价格转换成真实概率测度下的资产价格即可。

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