金融工程相关概念白话解释——Martingale

金融工程相关概念白话解释——Martingale

  • 在法文里,Martingale有两层意思,一是“倍赌策略”(赢了收手,输了加倍),二是“马缰绳”,将其翻译成鞅(马的缰绳)是用了它的第二层含义。
  • 显然把Martingale理解为马缰绳是不正确且让人感到迷惑的,Martingale的正确理解应该还是第一种意思。现在我们来看一下为什么应该理解成这种意思。首先我们来看一下Martingale的数学定义:

第一种是离散鞅:
如果一个离散时间的随机过程X1,X2,…,Xn,…满足以下条件:
(1) $E(|X_n|) < \infty $
(2) $E(X_{n+1}|X_1,..X_n) = X_n$
即,如果已知此刻以及之前的所有观察值,下一时刻的期望观察值等于此刻的值。
如果一个序列Y1,Y2,…Yn…是关于X1,X2,…Xn….的鞅(英文中序列Xi 称为filtration),则应满足:
(1) $E(|Y_n|) < \infty $
(2) $E(Y_{n+1}|X_1,..X_n) = Y_n$
第二种是连续鞅:
如果一个连续时间的随机过程Xt 满足以下条件:
(1) $E(|Xt|) < \infty$
(2) $E(X_t| {X_m,m \le s}) = X_s$
即,已知至时间s的所有信息,则某时刻t(t>s)的条件期望值为s时刻的值。
如果一个序列Yt 是关于Xt….的鞅,则应满足:
(1) $E(|Y_t|)< \infty $
(2) $E(Y_t| {X_m,m \le s}) = Y_s$

  • 简单来说就是下一时刻的期望观察值等于此刻的值。那么倍赌策略和这个有什么关系呢?
  • 考虑一个赌局,如果这个赌局是一个公平的赌局,也就是说赢和输的概率都是50%。在这种情况下,不管每局下注多少,赢钱的均值都是0,因此如果第一轮输钱了,第二轮采用倍赌策略可能就可以扳回损失。
  • 但是需要注意,倍赌策略看起来是一种不正常的策略,因为按照我们的正常心理,如果开始我们输了,后面我们就会产生对失败的恐惧而减注。在公平的赌局中这种心理是没有必要的,因为不论我们第一局是输是赢,第二局的输赢概率都还是那个样子,在某一时刻,无论我们如何利用在之前的赌局中取得的经验或者教训,我们在该时刻资产的期望都将是我们最初的资产额。这也是赌局的公平性的体现。也即$M_n = E_n[M_{n+1}]$
  • 所以在这种公平的赌局中,倍赌策略是一个有效的策略。所以martingale也翻译为平赌过程。
  • 相反,如果是一个不公平的赌局,我们第一局输了,那么采用倍赌策略只会让我们可能输的更惨。在不公平赌局中,输掉的第一局表明我们可能会在第二局继续输钱。可以用一个简单的例子来理解:

在一个赌局中,假设我们赢的概率是0.4,输的概率是0.6,我们押注金额为X,那么很容易计算我们在游戏结束时候的资产期望是$-0.2X$,这也就意味着,我们押注越多,输的钱越多。

  • 考虑另外一种赌局,如果我们预期下一局赢的概率上升,也就是说,下一局我们的资产期望增加,也即$M_n \le E_n[M_{n+1}]$,这个时候加注是一个很好的策略,这样的过程称为submartingale,即下鞅/次鞅。我觉得翻译成加注过程更为形象。
  • 再考虑另外一种赌局,我们预期下一局输的概率上升,也就是说,下一局我们的资产期望值下降,也即$M_n \ge E_n[M_{n+1}]$,这个时候减注是个非常好的选择,这个过程称为supermartingale,即上鞅。我觉得翻译成减注过程更为形象。

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